ক্যালকুলাস

প্রথমেই সবাইকে বিজ্ঞান প্রযুক্তিতে
আমার প্রথম পোস্টে সালাম জানাই। আশা
করি সকলেই ভাল আছেন। আজ আমি HSC
(বিজ্ঞান) শিক্ষার্থীদের জন্য
ইন্টিগ্রেশনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের
নিয়মাবলী নিয়ে এসেছি। হয়ত কাজে
লাগতে পারে। সবার আগে আমি আমি
ক্যালকুলাস কি, এটার ব্যবহার, উদাহরণ এসব
আলোচনা করব। এরপর ইন্টিগ্রেশনের
বিভিন্ন নিয়মাবলী নিয়ে আলোচনা করব।
ধৈর্য ধরে পড়তে হবে।
তাহলে শুরু করা যাক
ক্যালকুলাস কি?
ক্যালকুলাস আসলে অ্যাডভান্সড বীজগণিত
এবং জ্যামিতির এক অসাধারণ সমন্বয়।
গণিতের পরিপ্রেক্ষিতে বলা যায় এটা
কোন নতুন বিষয় বা সাবজেক্ট নয়।
ক্যালকুলাসে সাধারণ বীজগণিতীয় এবং
জ্যামিতিক সূত্রাবলি ব্যবহৃত হয় কিন্তু
ক্যালকুলাসের সমস্যাগুলি অবশ্যই বীজগণিত
এবং জ্যামিতির চেয়ে আলাদা ও একটু
জটিল। যেখানে বীজগণিত, জ্যামিতি এবং
ত্রিকোণমিতির শেষ সেখান থেকেই
ক্যালকুলাসের শুরু।
কারণঃ
এক্ষেত্রে প্রতিটি পদক্ষেপে ঢাল বা
ইনক্লাইন পরিবর্তন হচ্ছে ফলে ঢাল যতই
বৃদ্ধি পাচ্ছে লোকটিকে আরও বেশি
পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হচ্ছে বাক্সটি
উঠানোর জন্য। ফলশ্রুতিতে কাজের
পরিমাণও পরিবর্তিত হচ্ছে। প্রতি
সেকেন্ডে বা এক হাজার ভাগের এক
সেকেন্ডে নয়; এক মুহূর্ত থেকে অন্য মুহূর্তে
পরিবর্তনগুলো হচ্ছে যেটা একে
ক্যালকুলাসের একটি সমস্যায় পরিণত
করেছে। এখন নিশ্চয়ই আপনার এ ব্যপারে
কোন দ্বিমত নেই যে কেন ক্যালকুলাসকে
“MATHEMATICS OF CHANGE” বলা হয়।
আঁকাবাঁকা সমতলের সমস্যাটির ক্ষেত্রে
পদার্থ, জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতির
সকল সূত্রাবলি অপরিবর্তিত থাকবে।
পার্থক্য এই যে, রেগুলার সমস্যাগুলোতে
যেমন আমরা এসকল সূত্র একধাপে বসিয়ে
সমস্যার সমাধান দিতে পারি কিন্তু
আঁকাবাঁকা সমতলের সমস্যার ক্ষেত্রে
কার্ভের প্রতিটি বাঁককে অতি ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র
সেগমেন্টে বিভক্ত করতে হবে (অর্থাৎ
ডিফারেনশিয়েট করতে হবে) এবং প্রতিটি
সেগমেন্টে বীজগাণিতিক,
ত্রিকোণমিতিক, জ্যামিতিক কিংবা
পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রাবলি বসিয়ে উত্তর
বের করে সামগ্রিক ক্ষেত্রে (পুরো তলের
ক্ষেত্রে) আবার উত্তর বের করতে হবে।
(অর্থাৎ ইন্টিগ্রেট করতে হবে)
এখানে একটি প্রশ্ন
আসে, কেন সমবলে
আঁকাবাঁকা তলে
বস্তুটিকে উঠালে বল
পরিবর্তিত হবে?
**এর উত্তর হল, যখন ভূমির সাথে theta কোণে
হেলানো সমতল বরাবর কোন বস্তুকে তলের
শীর্ষে উঠানো হয় তখন ওই বস্তুর ওজনের
সাইন উপাংশ (mgsin(theta)) তল বরাবর
ব্যক্তির বলের বিপরীতে ক্রিয়াশীল হয়।
যদি উপাংশটি ব্যক্তি কর্তৃক প্রয়োগকৃত
বলের চেয়ে বেশি হয়, তবে ওই ব্যক্তি
বস্তুকে উপরে উঠাতে পারবেনই না বরং
বস্তুটি নিচের দিকে গড়িয়ে (গোলাকার
বস্তু হলে) পড়তে থাকবে, বস্তুটিকে তিনি
তখনই উঠাতে পারবেন যখন তার বল বস্তুর
ওজনের সাইনের উপাংশের চেয়ে বেশি হয়।
আর তিনি যদি বস্তুটিকে উঠাতে পারেন
তবে তার বলের কিছু অংশ বস্তুর ওজনের
সাইন উপাংশ কর্তৃক প্রশমিত হয় এবং তিনি
একটি লব্ধ ধ্রুব বলে বস্তুটিকে উঠাতে
পারেন।
কিন্তু তল যদি আঁকাবাঁকা হয় তবে তার
সাথে সাথে তলের ঢালেরও পরিবর্তন ঘটে।
ঢালের পরিবর্তনের ফলে বস্তুর ওজনের
উপাংশেরও পরিবর্তন ঘটে, যদি ওই ব্যক্তি
ধ্রুব বলেই বস্তুটিকে আঁকাবাঁকা তলে উপরে
উঠাতে চেষ্টা করেন তাহলে কখনও mgsin
(theta)এর মান বাড়ে, কখনও বা কমে (কোণ
সাপেক্ষে)। ফলে ওই ব্যক্তি যদিওবা
সমবলে বস্তু উপরে উঠাচ্ছেন তার লব্ধি বল
কিন্তু ক্রমাগত বাড়ছে অথবা কমছে এবং
সেটার জন্য দায়ী mgsin(theta)।
**দ্রষ্টব্যঃ এই আলোচনায় ঘর্ষণ আনা হয়
নি। ঘর্ষণ আনলেও ফলাফল একই হবে, তবে
ব্যক্তিকে আরও বেশি বল প্রয়োগ করতে হবে
কেননা, ব্যক্তির উপর বস্তু কর্তৃক প্রযুক্ত
মোট বল= mgsin(theta) + ঘর্ষণ বল।**
এতক্ষণ ক্যালকুলাস নিয়ে যত বক বক করা হল
তা খুবি অল্প। এটা দিয়ে এমন ধরণের
সমস্যার সমাধান করা যায় যেগুলো আমরা
সাধারণ বীজগণিত, জ্যামিতি অথবা
পদার্থবিজ্ঞান এর সূত্রাবলি দিয়ে করতে
পারি না কারণ সব কিছুই একটু পর পর
পরিবর্তিত হচ্ছে, তবে ক্যালকুলাস
ক্যালকুলাসীয় সমস্যাগুলোতে আমাদের
এসকল সূত্র ব্যবহার করার পরিবেশ কিংবা
সুযোগ (যেটাই বলুন না কেন!) তার ব্যবস্থা
করে!তাহলে বোঝা যাচ্ছে ক্যালকুলাস
ব্যবহার করে জুম করে এবং সরল করে অতঃপর
সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে আমরা ওইধরণের
সমস্যার সমাধান নিমেষেই দিতে পারি।
প্রশ্ন হল, ক্যালকুলাস কিভাবে
কার্ভকে জুম করে বা সরলরেখায়
পরিণত করে?
খুবই সহজঃ ক্যালকুলাসে আমরা যেটাই করি
না কেন তা অসীমের দিকে ধাবিত করে;
সেটা ডিরেক্টলিই হোক কিংবা
ইন্ডিরেক্টলিই হোক। যেমনঃ প্রি-
ক্যালকুলাসে আমরা দেখি (সোজা কথায়
লিমিটের অঙ্কগুলো)মূল নিয়মে শূন্যের
কাছাকাছি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র পরিবর্তনের
মাধ্যমে সূত্রাবলি ডিরাইভ করা হয়েছে।
পরিবর্তন যদি শুণ্যের কাছাকাছি হয় তবে
পরিবর্তনের গ্রাফ কিন্তু ক্ষুদ্র সরলরেখাই
হয়।
RULE: great rules for all
বিবৃতিঃ কোন In এর একটি অংশকে বা
অংশবিশেষকে ডিফারেনশিয়েট
করলে যদি অপর একটি পূর্ণ অংশ
পাওয়া যায় তবে তাকে z বা t ধরতে
হবে। এবং dz এর মান বের করতে হবে।
অবশেষে z এবং dz এর মান বসিয়ে
সমাকলন করার পর সবশেষে z ও dz এর
মান উঠিয়ে চলকের মান বসাতে হবে।